瓜豆原理系列1（轨迹？构造手拉手模型？）评析2020.1越秀区八年级上期末压轴题

主持本公众号的笔者坚持的数学问题探索过程一般基于两点：
1、你是怎么想到的？
2、怎么样更好的教给学生？

关于瓜豆原理是最近网络上出现的一个热门的词语，没有听过的觉得“不懂”，知道或了解的又觉得“真简单”，群众的智慧是无穷的。

其实高中教材出现过类似的问题。当时我们称为主动点和被动点的轨迹问题。（相关点法）

笔者也对这样的问题研究过类似的问题：（点击可以打开）

“想清”动点轨迹，解决相关压轴题

最近广州市某区八年级上期末就出现了这样的问题，非常好玩。

这里主要分析学生感觉比较困难的第（3）问。

基本解法：

如图2，

第一步,以OB为边,作等边三角形BOP,得到第一组共顶点O的手拉手相似的等边三角形;

(但这里不需要用相似,只需用等量代换来证明某个顶角相等而已)

第二步,连接PN,产生第二组全等的手拉手全等的三角形,即(SAS);

第三步,由全等证出BM=PN,由此说明:因为点M的起点为点B,点N的起点为点P,点M运动的终点是点C,所以点N的路径长度与点M的路径长度相等,

第四步,即点N的路径长度为BC=18。

反思1：这个解法太神奇了！

但是学生会问，你怎么想得到第一步“以OB为边,作等边三角形BOP”呢？

或者学生还会提问：你怎么知道或证明点N的运动轨迹是条线段呢？

反思2：第二个疑问，可以用四点共圆来证明点N的运动轨迹是线段，即证明∠PCN=60°，如下图：

对于第一个疑问，的确原理就是“瓜豆原理”！

那么，什么是瓜豆原理呢？先看两个动态图

瓜豆原理可简单概括为：

一条折线段，固定其折点，邻边定比例，夹角不改变．

有三点：主动点、固定点和从动点，若主动点在直线上动，则从动点在直线上动；

若主动点在圆上动，则从动点在圆上动；

还可以进一步推广：若主动点在双曲线上动，则从动点也在双曲线在上动；

…………

 此所谓：“种瓜得瓜，种豆得豆”。

如何证明呢？初中可以用旋转相似来证明，高可以用解析几何来证明。

这真是一个非常神奇好玩的东东！

……

题目2：

还有一个热门的问题：

初中的方法：构造手拉手相似，如下图，注意正方形为幌子，真正有用的是等腰直角三角形BOC，

所以以AB为斜边构造等腰直角三角形BHA，则这两个等腰直角三角形有公共的顶点B，我们称之为手拉手模型。它们有一组同顶点的相等的角，

所以这两个等腰直角三角形相似（AA）,

反思3：原理上本质是暗含瓜豆原理，但是上述的写法可以避免用上它，这样就和考试用到的解题标准是一样的啦。

……

关于瓜豆，例如2019年广西桂林中考、2018年南通中考的压轴题就是以这个为背景！

有时间我会继续写系列2,3……敬请期待

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